侯世达：哥德尔、艾舍尔、巴赫

置身于这样一个场景：站在两面镜子中间，你的一个动作，同时但又像永无休止的，在镜子间投射，一层一层重复下去，在你看不到的秘境中它能走多远，你不知道。两面镜子间，是一个循环的无休止的系统，瞬间和无穷在这里相遇。

这个场景可能每个人都经历过，但并不是每个人都注意到这令人迷惑的困境，注意到的，也极少有像这本书的作者一样，如此为之着迷。

侯世达其人

Douglas Richard Hofstadter，生于 1945 年 2 月 15 日，美国学者、作家，侯世达是他的中文名字。他的研究领域主要包括意识、类比、艺术创造、文学翻译以及数学和物理学探索。

《哥德尔、埃舍尔、巴赫》一书，源于他的一个想法：与数学描述宇宙一样，意识也是通过类似某种“平行交叉的反馈回路”出现。一天下午，他打算给朋友写封信，描述一下自己的大致想法。写到 30 页时，他决定暂不寄出，让想法再沉淀一下。七年后，这些想法最终被整合成为一本奇书——《哥德尔、埃舍尔、巴赫:集异璧之大成》，并为他赢得了普立兹奖（非小说类别）和美国国家图书奖（科学类别）。

就像侯世达曾经在前言里说的：

这本书探索了杂多的主题，赋格和卡农、逻辑和真理、几何学、递归、句法结构、意义的本质、禅宗、悖论、脑和意识、还原论与整体论、蚂蚁群落、概念和心理表征、翻译、计算机和计算机语言、DNA、蛋白质、基因编码、人工智能、创造性、意识和自由意志，还写到了音乐和艺术。

以至于许多人很难捕捉到此书到底在写什么。确实，如何理解这个，是如何切入这本书的关键。

尽管侯世达的研究领域非常庞杂，但他真正关注的命题始终是——思考是什么。人脑是如何受驱使去尝试总结当前所处境况的？又是如何找到本质、确定关键概念的？

思维无时无刻不在试着将人所处的新情境和曾经遇到过的情况作比较，也即在更高的抽象层面上理解新情境，剔除无关的多余细节，分离出真正重要的东西。简言之，思考包含了刨去表面看深层，找出情境的本质是思考的核心；忽略表象，找到新旧两种情境共有的深层核心本质，将新情境视为与之前的某个或某类情境“一样”的过程就是类比，类比是认知的核心；这两者密切相关。

从 16 岁开始，侯世达每天收集自己和周围人的输入错误，包括说话错误、听话错误、动作错误等等。他认为犯错提供了一个窗口，使人得以一窥思考的本质。他发现类比始终都是犯错背后的元凶，一个看得见的错误行为，背后是一个或多个看不见、摸不着的类比。“思考中充满了错误，而错误都是无意识地使用类比导致的”，侯世达发现了思考的这一特征，思考是如此微妙、不机械，他把人看作一台“恣意而马虎的类比制造机”。

我接下去要讲的，就是他书中美妙故事的前篇。“思维如何运作”，就是我找到的探索这本书的简易地图，而在阅读的过程中不断思考，不断探寻书中关于“思考是什么”的巧妙的思想游戏，模仿侯世达展示的思维结构，建构自己的思维脉络，就是这次探索之旅的全部意义。也许我们可以称之为——“元思考”，一段关于思考是什么的思考。

侯世达漩涡

一位男士正在看一幅画，一艘船停靠在港湾，画面后方是一座城镇，他立刻注意到了画面右上方的一个小男孩，在石屋顶的露台上，思索着什么。比他低两层的窗口，一位扎着髻的妇女，似乎也正盯着男士。她的下方是一个画廊，男士的视线沿着画廊回落，最终看到了自己的脚背！“我自己到了画中？不，是经过画中的一切又回到了开始的地方；不，很显然我与画不是同一个层次的，刚刚已经做了一次层次间的穿梭...”

“嗨，哥德尔。”

男士正沉醉在迷幻般的感受带来的思索中，一位男中音打断了他。

说话者正是这个怪圈的创作者，艾舍尔。他们相约去见一位音乐家——巴赫，他的音乐像这幅画一样令人迷惑。沿着某个方向穿过系统中的层次时，总是意外的发现正好回到了开始的地方。

三位主角已经出现了两位。事实上，他们并没有真的相邀去见巴赫，他们也没有在现实中相遇过，他们的相聚是在侯世达的思想游戏中。

同构

哥德尔

库尔特·哥德尔（Kurt Godel，1906 年 4 月 28 日—1978 年 1 月 14 日），数学家、逻辑学家和哲学家。生于捷克的布尔诺，卒于美国普林斯顿，最杰出的贡献是 1931 年提出的哥德尔不完全性定理——任何一个包括初等数论的形式系统，只要是自洽的，必定包含这样的命题，在本系统中既不能被证明也不能被否定。

第十五章前的对话《对位藏头诗》中，乌龟的“无理取闹”，就可以看作不完全性定理的表现型。不论螃蟹声称它的唱机多么完美，乌龟总会找到能损毁唱机的唱片，而恰恰就是因为唱机完美的高保真，所以必然存在一张唱片会引起共振导致机器“自我震碎”；就像在形式系统中不断加入新的公理，却因为它本身是完备的，又总能找出新的“漏洞”。

而即使螃蟹为它的机器添加一种新装置，制造出“唱机欧米伽”，能够在播放前精确地确定唱片播放时的效果，识别其是否对唱片机有害，从而改变唱机结构以防共振，就能应对一切唱片了吗？螃蟹的新装置，可以看作在形式系统中，不是仅仅加了一条新公理，而是添加了构建新公理的公理模式，看上去似乎真的可以一劳永逸地跳出“公理－漏洞”的循环了，是这样吗？侯世达在第十五章《跳出系统》中给出了回答，“公理模式”同样难遭厄运，仍能实施哥德尔的构造过程，因为“公理模式”也成为了一个形式系统，而系统具有“本质不完全性”——一个系统强到能有自指的句子，它本身的丰富性就不可避免的使自己垮了台。

艾舍尔

M.C.艾舍尔（M. C. Escher，1898 年 06 月 17 日－1972 年 3 月 27 日），荷兰科学思维版画大师。作品多以平面镶嵌、不可能的结构、悖论、循环等为特点，从中可以看到对分形、对称、双曲几何、多面体、拓扑学等数学概念的形象表达，兼具艺术性与科学性。

书中插入艾舍尔的画作 34 幅之多，其中一幅《画廊》（1956），正是上文哥德尔与艾舍尔“相遇”的场景。这幅画有一个，对侯世达来说是期望中的“疵点”，中心有着艾舍尔签名“MCE”的漩涡——不完全性的体现。换言之，这幅画是看得到的哥德尔不完全性定理。

接着他们去找了巴赫，巴赫的音乐是从听觉上，对不完全性定理的另一种呈现吗？

巴赫

约翰·塞巴斯蒂安·巴赫（德语：Johann Sebastian Bach，1685 年 3 月 21 日－1750 年 7 月 28 日），巴洛克时期的德国作曲家，杰出的管风琴、小提琴、大键琴演奏家。

侯世达开篇花了大量篇幅介绍了巴赫《音乐的奉献》，解释了卡农、赋格。巴赫在音乐中构造的缠结的层次结构，与艾舍尔和哥德尔所构造的完美同构。在书的最后章节，在穿越了侯世达用语言构造的各种交错的层次之后，又回到了这三个人，哥德尔漩涡到艾舍尔漩涡，再到巴赫漩涡，就像回到了起点，而整本书就是在谱一曲跟《音乐的奉献》同构的“侯世达漩涡”。

矛盾

消除怪圈

罗素与怀海特在《数学原理》一书中，强行规定集合的类型，为系统建立了人为的层次，把有自指性质的集合都排除出去，来取缔怪圈。在这里，跨层次是禁止的。（27-28）

侯世达却穿越层次，玩自指的游戏，并引领读者也去这么做——“觅之，自有所获”，他对读者说。他这么做，是因为他抱有这样的观点，“智能的灵活性来自大量的不同规则和规则的层次”（缠结的层次结构，904）。这也是为什么，他会说“很遗憾人们把看起来很厉害的程序当作了人工智能”。智能的核心在于包含“怪圈”，在“规则”和“元规则”、“元元规则”...不同层级之间切换。智能应当能够对规则进行分类，选取合适的规则或元规则、元元规则等等，并能够发明新规则，同时带出了发明新规则的规则。换言之，没有学会“篡改”规则的程序远不能称为智能。

无限压缩为混沌

禅宗超越二元论的方式，似乎可以归结为一句话，“所有的公理系统都是不完备的”，并以此来否定逻辑学。这可以看作是对哥德尔定理的一个误解，并由此引出了另一个误解，“因为不完备，所以永远无法证明一个公理系统无矛盾”。无法从系统内部证明相容性，并不意味着我们不可以通过其他系统给出证明。而禅宗给出的答案是“废问”，将系统与元系统和不同层级的规则都压缩至一种混沌状态，使其像“没人读的故事中的人物”一样，坠入“堕界”。即使如此，其存在依然无法否认。禅宗本身无法也成为它自身的元系统，这一点，没有任何一个系统能逃过，总有在系统内无法说清的东西。（328）

禅宗选择跳过这一切。

人类的自负

哥德尔论证的重复性，在螃蟹唱机的类比中，以及书里《生日大合唱哇哇哇乌阿乌阿乌阿...》的对话，乌龟的层层逼进中，都精彩的形象化了这种扰人心智、令人抓狂的重复性。这似乎成了很多人的作战武器，用以证明人类智能的难以捉摸、不可探知，计算机永远无法达到人类智能。

卢卡斯就是其中一位，他认为：

不可能编出这样的程序，使计算机“知道”得和我们一样多。我们总是能够跳出系统，从外部实施“哥德尔化”，看到程序从内部无法看到的东西。

哥德尔化是一个开玩笑的不正规术语，指在系统外，将系统纳入哥德尔程序，用它自己做不到的方式“将死”它，非常形象，侯世达辩卢卡斯时，也沿用了这个概念。在第十五章《跳出系统》和第十七章《丘奇、图灵、塔斯基及别的人》中，侯世达分别用两种方法驳斥卢卡斯的观点。（626，759）

侯世达做的，是更多一层的跳出系统：

正是由于我们无法写出执行“哥德尔化”的程序这样的事实，才使我们多少有点怀疑我们自己是不是真能在一切情形下都能运用哥德尔手法。

他认为随着形式系统或程序的复杂性逐渐升级，我们自己哥德尔化的能力最终也会动摇。尽管每个人的界限不一，且都是模糊的，但对任何人，都存在一些系统，大大超出他的哥德尔化能力。也就是说，人必定在某一点上达到他自己哥德尔化的极限，而当机器能够超过这一点时，尽管它仍然是哥德尔不完备的，却跟人一样有力。对于不承认这一点的，侯世达打了一个比方，“男人女人之间的较量”，使人一眼看出卢卡斯论点鸵鸟式的自负，作为辩论手法，幽默有趣，值得一读。

第二次驳斥卢卡斯，侯世达首先说了自己对人工智能的理解：